MAT1044 - İşletme Matematiği II

Ders Müfredatı

1. Hafta Belirsiz İntegral 2. Hafta Değişken Değiştirme 3. Hafta Kısmi İntegrasyon 4. Hafta Belirli İntegral 5. Hafta Alan Hesabı 6. Hafta Tüketici Rantı (CS)

--- VİZE ---

8. Hafta Matrisler 9. Hafta Determinant 10. Hafta Ters Matris 11. Hafta Cramer Kuralı 12. Hafta Kısmi Türev 13. Hafta Optimizasyon 14. Hafta Lagrange Çarpanları

1. HAFTA

Belirsiz İntegral

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini (aslını) bulma işlemine Belirsiz İntegral (Antitürev) denir.

Temel Kuvvet Kuralı

Eğer $n \neq -1$ ise:

$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

Sabit sayı kuralı: $\int k dx = kx + C$

Örnek Soru 1

Soru: $\int (4x^3 - 2x + 7) dx$ integralini hesaplayınız.

Çözüm: Terim terim integral alıyoruz.

$= 4 \int x^3 dx - 2 \int x^1 dx + \int 7 dx$

$= 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C$

$= x^4 - x^2 + 7x + C$

2. HAFTA

Değişken Değiştirme (u-Dönüşümü)

Karmaşık integralleri çözmek için "içteki" veya "zor" kısma $u$ diyerek integrali basitleştiririz.

Tüyo: Genellikle parantez içine, kök içine veya paydaya $u$ denir. $u$'nun türevi ($du$) integralin içinde çarpan olarak bulunmalıdır.

Örnek Soru 2

Soru: $\int 3x^2 (x^3 + 5)^7 dx$ integralini hesaplayınız.

1. Adım: Parantez içine $u$ diyelim.

$u = x^3 + 5$

2. Adım: Türev alalım.

$du = 3x^2 dx$ (Tam olarak soruda var!)

3. Adım: Yerine koy ve çöz.

$\int u^7 du = \frac{u^8}{8} + C$

4. Adım: $u$'yu geri yaz.

$= \frac{(x^3 + 5)^8}{8} + C$

3. HAFTA

Kısmi İntegrasyon

Formül:

$$ \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $$

Örnek Soru 3

Soru: $\int x \cdot e^x dx$

LAPTÜ kuralına göre Polinom ($x$) Üstelden ($e^x$) önce gelir, o yüzden $u=x$.

$u = x$
$du = dx$

$dv = e^x dx$
$v = e^x$

$= x \cdot e^x - \int e^x dx$

$= x \cdot e^x - e^x + C$

4. HAFTA

Belirli İntegral

İntegralin sonucunda $+C$ sabiti yerine belirli sınırlar ($a$ ve $b$) varsa sonuç bir sayı çıkar.

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Örnek

$\int_{0}^{2} 3x^2 dx$

$= [x^3]_{0}^{2}$

$= (2^3) - (0^3)$

$= 8$

5. HAFTA

Alan Hesabı

Eğri altında kalan alan veya iki eğri arasındaki alan pozitif çıkar.

İki Eğri Arası Alan

$y=x$ doğrusu ile $y=x^2$ parabolü arasındaki alan?

1. Kesişimleri bul: $x^2 = x \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0$. Noktalar: 0 ve 1.

2. [0,1] aralığında $y=x$ üstte, $y=x^2$ alttadır.

Alan $= \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$

$= [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1$

$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (0)$

$= \frac{1}{6}$ birimkare

6. HAFTA

Ekonomik Uygulamalar (CS/PS)

Tüketici Rantı (CS)

Talep eğrisi altındaki alan - Ödenen tutar

$$ CS = \int_{0}^{q_0} D(q)dq - P_0q_0 $$

Üretici Rantı (PS)

Elde edilen gelir - Arz eğrisi altındaki alan

$$ PS = P_0q_0 - \int_{0}^{q_0} S(q)dq $$

8. HAFTA

Matrisler

Matrislerde en çok hata yapılan yer Matris Çarpımıdır.

Matris çarpımının yapılabilmesi için; Birinci matrisin Sütun sayısı = İkinci matrisin Satır sayısı olmalıdır.

Çarpım Örneği

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} $$
$$ A \cdot B = \begin{bmatrix} (1\cdot2 + 2\cdot1) & (1\cdot0 + 2\cdot5) \\ (3\cdot2 + 4\cdot1) & (3\cdot0 + 4\cdot5) \end{bmatrix} $$
$$ = \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 20 \end{bmatrix} $$

9. HAFTA

Determinant

                    2x2 Determinant
                    $$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c $$
                

Determinant sıfırsa matrisin tersi yoktur (Singüler Matris).

10. HAFTA

Ters Matris

2x2 matrisin tersi kısa yoldan şöyle bulunur:

$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

Köşegenler yer değiştirir, diğerleri işaret değiştirir. Hepsini determinanta bölersin.

11. HAFTA

Cramer Kuralı

Lineer denklem sistemlerini determinant ile çözme yöntemidir.

Sistem Çözümü

2x + y = 7
x - y = 2

1. Ana Determinant ($D$): 2x2 katsayılar matrisinin determinantı.

$$ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 $$

2. $x$ Determinantı ($D_x$): $x$ katsayıları yerine sonuçlar (7, 2) yazılır.

$$ D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -7 - 2 = -9 $$

3. Sonuç:

$$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-9}{-3} = 3 $$

12. HAFTA

Kısmi Türev

Çok değişkenli fonksiyonlarda $f(x,y)$, $x$'e göre türev alırken $y$ sabit sayı kabul edilir. Tam tersi de geçerlidir.

Örnek

$f(x,y) = x^3 + x^2y - 2y^3$

f_x (x'e göre)
$3x^2 + 2xy$
(y sabit olduğu için $2y^3$ gitti)

f_y (y'ye göre)
$x^2 - 6y^2$
($x^3$ sabit olduğu için gitti)

13. HAFTA

Yerel Max/Min

Kritik noktalar bulunur ($f_x = 0$ ve $f_y = 0$). Sonra Hessian determinantına bakılır.

                    $$ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 $$
                    $D > 0$ ve $f_{xx} > 0$ ise Yerel Min
$D > 0$ ve $f_{xx} < 0$ ise Yerel Max
$D < 0$ ise Eyer Noktası

                

14. HAFTA

Lagrange Çarpanları

Bir kısıt altında (örneğin bütçe kısıtı) max/min bulmak için kullanılır.

$$ L(x, y, \lambda) = f(x,y) - \lambda (g(x,y) - c) $$

Tüm değişkenlere göre kısmi türevler alınıp sıfıra eşitlenir.