MAT1043 - İşletme Matematiği I

Ders Müfredatı

1. HaftaFonksiyonlar ve Grafikler 2. HaftaLineer Modeller (Arz-Talep) 3. HaftaBaşabaş Noktası Analizi 4. HaftaÜstel ve Logaritmik Fonk. 5. HaftaLimit ve Süreklilik 6. HaftaTürev Kavramı

--- VİZE ---

7. HaftaTürev Alma Kuralları I 8. HaftaTürev Alma Kuralları II 9. HaftaMarjinal Analiz 10. HaftaOptimizasyon (Max/Min) 11. HaftaElastikiyet (Esneklik) 12. HaftaMatrisler ve Determinantlar 13. HaftaLineer Denklem Sistemleri 14. HaftaGenel Tekrar

1. HAFTA

Doğrusal Fonksiyonlar

İşletme matematiğinde en sık kullanılan model $ y = mx + c $ (Doğru Denklemi) yapısıdır. Burada:

m (eğim): Marjinal değişim oranı (değişken maliyet gibi).
c (kesim noktası): Sabit değer (sabit maliyet gibi).

Örnek

Bir fabrikanın sabit maliyeti 5000 TL, birim başına üretim maliyeti 20 TL'dir. Toplam Maliyet Fonksiyonu:
$$ C(x) = 20x + 5000 $$

2. HAFTA

Piyasa Dengesi (Arz - Talep)

Denge noktası, Arz (Supply) ve Talep (Demand) eğrilerinin kesiştiği yerdir ($ Q_s = Q_d $).

Sınav Sorusu Örneği

Talep Fonksiyonu: $ P = 100 - 2Q $
Arz Fonksiyonu: $ P = 10 + Q $
Denge miktarını (Q) ve fiyatı (P) bulunuz.

Çözüm:
P'leri eşitleyelim: $ 100 - 2Q = 10 + Q $
$ 90 = 3Q $
$ Q = 30 $ (Denge Miktarı)
P'yi bulmak için yerine koyalım: $ P = 10 + 30 = 40 $
Sonuç: (30 birim, 40 TL)

3. HAFTA

Başabaş (Break-Even) Analizi

Gelirlerin maliyetlere eşit olduğu, kârın SIĞIR olduğu noktadır. ($ R(x) = C(x) $ veya $ \text{Kâr} = 0 $)

$$ R(x) = p \cdot x \quad (\text{Gelir = Fiyat} \times \text{Miktar}) $$ $$ P(x) = R(x) - C(x) \quad (\text{Kâr = Gelir - Maliyet}) $$

Örnek

Satış Fiyatı: 50 TL, Değişken Maliyet: 30 TL, Sabit Maliyet: 10,000 TL.
Kaç adet satılırsa kâra geçilir?

$ 50x = 30x + 10000 $
$ 20x = 10000 $
$ x = 500 $ adet.

4. HAFTA

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Bileşik faiz hesaplamaları ve büyüme modellerinde kullanılır ($ e^x $ ve $ \ln(x) $).

Önemli Kural: $ \ln(e^x) = x $ ve $ e^{\ln x} = x $

5. HAFTA

Limit

Fonksiyonun belli bir noktadaki davranışını inceler. Özellikle belirsizlik durumları ($ \frac{0}{0} $) önemli.

Örnek: Çarpanlara Ayırma

$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$ Yerine koyarsak $ \frac{0}{0} $ olur. Çarpanlara ayır:
$$ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)} = x+2 $$ Şimdi x yerine 2 koy: $ 2+2 = 4 $

6, 7 & 8. HAFTA

Türev ve Kuralları

Türev, ani değişim oranıdır. Ekonomide "Marjinal" kelimesi Türev demektir.

Kuvvet Kuralı

$$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$ Örn: $ (x^3)' = 3x^2 $

Çarpım Kuralı

$$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$

Bölüm Kuralı

$$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Zincir Kuralı

$$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ Örn: $ (2x+1)^3 \to 3(2x+1)^2 \cdot 2 $

9. HAFTA

Marjinal Analiz

Türevin iş dünyasındaki uygulamasıdır.

$$ C'(x) \approx C(x+1) - C(x) $$ (Marjinal Maliyet = 1 birim fazla üretmenin yaklaşık maliyeti)

Örnek: Marjinal Maliyet

Toplam Maliyet: $ C(x) = 100 + 5x + 0.1x^2 $
$ x=10 $ iken Marjinal Maliyet nedir?

Türev al: $ C'(x) = 5 + 0.2x $
x=10 koy: $ MC(10) = 5 + 0.2(10) = 7 $
Yorum: 11. ürünü üretmenin maliyeti yaklaşık 7 TL olacaktır.

10. HAFTA

Optimizasyon (Max/Min Problemleri)

Kârı maksimize veya maliyeti minimize etmek için Türev alınır ve sıfıra eşitlenir.

Örnek: Kâr Maksimizasyonu

Gelir: $ R(x) = 50x - 0.5x^2 $
Maliyet: $ C(x) = 10x + 200 $
Maksimum kâr için kaç üretilmeli?

1. Kâr Fonk: $ P(x) = R(x) - C(x) = 50x - 0.5x^2 - 10x - 200 $
$ P(x) = -0.5x^2 + 40x - 200 $
2. Türev al: $ P'(x) = -x + 40 $
3. Sıfıra eşitle: $ -x + 40 = 0 \Rightarrow x = 40 $
40 birim üretimde kâr maksimizedir.

12-13. HAFTA

Matrisler ve Cramer Kuralı

Çok bilinmeyenli denklem sistemlerini çözmek için kullanılır.

Denklem Sistemi:
$ ax + by = e $
$ cx + dy = f $

Determinant (D): $ ad - bc $

Örnek: Cramer Kuralı

$ 2x + y = 7 $
$ x - y = 2 $

1. Ana Determinant (D): $ (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3 $
2. Dx (x sütunu yerine sonuçları yaz):
$ \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -7 - 2 = -9 $
3. Dy (y sütunu yerine sonuçları yaz):
$ \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 7 = -3 $

$ x = Dx / D = -9 / -3 = 3 $
$ y = Dy / D = -3 / -3 = 1 $
Çözüm Kümesi: {3, 1}